경기자가 다수인 게임 e.g. 버스 하차 버튼 누르기 게임(calling an ambulance)

mixed strategy를 공부하다보면 항상 등장하는 player가 다수(n명)인 게임이 등장한다.

 

경기자가 다수인 게임에서 player가 선택할 수 있는 전략이 두 가지로 등장하는 경우를 배웠는데

대표적인 예시로는 '수사슴 게임' 이라고 불리는 게임으로

player인 사냥꾼이 토끼와 사슴 두 가지 중 한 가지를 잡고자 하는 경우이다.

이러한 경우의 Nash Equilibrium은 n명의 사냥꾼(player)가 모두 같은 동물을 쫓는 것이다.

따라서 (토끼, 토끼, 토끼) 혹은 (사슴, 사슴, 사슴)이 내쉬 균형이다.

 

사냥꾼(player)들이 토끼와 사슴을 확률적으로 섞어서 선택한다고 할 때

대칭게임(symmetric game)인 수사슴 게임이므로

모든 사람이 같은 확률로 토끼/사슴을 선택하는 대칭균형(symmetric equilibrium)이다.

 

대칭균형(symmetric equilibrium)? 모든 경기자가 동일한 전략을 쓰는 균형

 

player가 여러 명인 대칭균형 게임을 예시로 '버스 하차 버튼 누르기 게임'을 알아보자!

 

버스 하차 버튼 누르기 게임

버스에 타고 있는 승객이 n명이 있고 정거장에서 하차를 하기 위해 버튼을 눌러야 한다고 하자.

하차를 하게 되는 경우 payoff(보수) 는 a > 0

 

n명이 모두 내려야 하기 때문에 누구 한명이라도 버튼을 눌러야 하는 상황이므로

아무도 누르지 못하면 내리지 못하는 각 player들의 payoff= 0.

 

또한 하차 버튼을 누르기 위해 보는 비용(cost)은 c.

이때 c < a 이다.

 

순수전략균형(Pure Strategy NE)을 먼저 살펴보면

당연히 누군가 버튼을 눌러야 n명 모두 하차할 수 있으므로

버튼을 눌러야 하지만, 여러명이 누르게 되는 것은 내쉬균형이 아니다.

정확히 한 명만 버튼을 누르는 상황이 NE in pure strategies.

 

그러나 이러한 상황은 대칭균형이 아니다(누르는 한 명은 다른 player들보다 손해).

그렇기 때문에 대칭균형을 살펴보았다.

 

모든 player가 동일하게 p의 확률로 버튼을 누른다면

누르지 않을 확률은 1-p가 된다.

 

그렇다면 player 1의 상황에서 버튼을 누를 경우에

(1-p)^(n-1)*(a-c)+{1-(1-p)^(n-1)}*(a-c) = a-c

라는 식이 나온다.

 

1-p : 버튼을 누르지 않을 확률

(1-p)^(n-1) : 누구도 버튼을 누르지 않을 확률

1-(1-p)^(n-1) = 적어도 한 명이 버튼을 누를 확률

a-c는 당연하게도 p1이 버튼을 눌렀으니 얻는 payoff이다.

 

<->

p1이 버튼을 누르지 않을 경우

(1-p)^(n-1)*0 + {1-(1-p)^(n-1)}*a = {1-(1-p)^(n-1)}*a

 

p1이 버튼을 누르든 누르지 않든 무차별(indifference)하기 위해서는

a-c = {1-(1-p)^(n-1)}*a

가 성립하여야 한다.

 

위 식을 계산하면 1-(c/a)^(1/n-1)

이 값이 바로 균형 확률, symmetric equilibrium이 되는 것이라고 불 수 있겠다.

모두가 1-(c/a)^(1/n-1)의 확률로 버튼을 누르는 상황이 혼합전략균형!

 

여기서 n이 커질수록 균형 확률도 감소한다. (사회적 편익의 발생 확률이 줄어드는 것)

as n grows, the probability that no one calls f(n) increases.

 

그러나 완전히 0이 되는 것은 아니고 n이 무한대로 가면 한 사람이 버튼을 누를 확률이 a-c/a로 수렴한다.

이러한 현상은 ”bystander effect”(방관자 효과), ”diffusion of responsibility”(책임감의 분산)이라고도 불린다.

 

 

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이번 게임의 예시 문제 및 설명은 게임이론: 전략적 사고와 분석의 기초(김광호) 책의 제5장 혼합전략균형의 '버스 하차 버튼 누르기 게임'과 Uni Mainz Game Theory 강의자료를 활용해 작성했습니다