mixed strategy (혼합 전략)

 

문맥이나 상황에 따라 전략은 Mixed Strategy(혼합 전략)과 Pure Strategy(순수 전략)으로 나뉠 수 있다.

또한 Mixed Strategy는 Pure Strategy를 포함하는 개념이다.

 

Mixed Strategy(혼합 전략)는 {1/2, 1/2} 혹은 확률 : 1/2 처럼 확률분포로 표현된다.

 

 

만약 player 1과 2가 있고 각각 player가 선택할 수 있는 모든 mixed strategies를 모은 집합을 전략집합이라고 하고,

각각 Σ₁, Σ₂ 라고 하자.

이때, 혼합전략균형(Mixed Strategy Equilibrium)은 내쉬 균형의 정의와 거의 동일하다.

 

 

(σ₁*, σ₂*)가 다음 두 조건을 만족하면 혼합전략균형, mixed strategy eqilibrium이다.

모든 σ₁ ∈ Σ₁에 대해 u₁(σ₁*, σ₂*) >= u₁(σ₁, σ₂*)

모든 σ₂ ∈ Σ₂에 대해 u₂(σ₁*, σ₂*) >= u₂(σ₁*, σ₂)

 

 

 

 

 

여기서 Δ는 델타라고 불린다.

ΔSi는 발생 가능한 probability distributions를 모두 모은 것. (pure 말고 mixed까지)

 

만약 Player 1이 선택할 수 있는 pure strategy가 Q, W, E가 있다면

S1 = { Q, W, E } (=사용 가능한 전략)

각각 Q, W, E에 해당하는 확률이 p, q, 1-p-q라면

ΔS1 = { p ∈ [0,1] , q ∈ [0,1] , 0 <= 1-p-q <= 1 } (=사용 가능한 모든 전략)

 

이러한 확률들을 쓸 때는 시그마로 표현하기도 한다. (예제에서는 보통 시그마(σ)로 표현하였음)

 

Beliefs for player i = θᵢ (세타 i) 라고 생각하자.

따라서

θ₁(s₂) = player 1's assessment that player 2 chooses s₂

 

Beliefs, mixed strategies and expected utilities

여기서 

θ₁ = (1/2, 1/4, 1/4) 라고 하자

이는 player 1's belief = (L, M, R)의 확률들이다.

player 2가 L, M, R를 고를 확률들이므로 이에 따라 player 1의 payoff도 갈리는 것이라고 볼 수 있다.

 

그렇다면 u₁(U, θ₁) = (1/2*8)+(1/4*0)+(1/4*4)

= 5 = u₁(player 1이 U를 골랐을때, player 2의 확률들)

 

IF

player 1 plays mixed strategy?

 σ₁ = (1/2, 0, 1/2)

then

u₁(σ₁, θ₁) = u₁(U, θ₁)*σ₁(U) + u₁(C, θ₁)*σ₁(C) + u₁(D, θ₁)*σ₁(D)

= 5*1/2 + 0 +  u₁(D, θ₁)*1/2

= 5/2 + 5*1/2 = 10/2

= 5